Question

15．如圖，正方形ABCD邊長為2，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：|AE|=|EB|；
（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由以D為圓心DA為半徑作圓，EA為圓D的切線，由切割線定理能證明|AE|=|EB|．
（Ⅱ）連結(jié)BF，推導(dǎo)出BF⊥EC，由射影定理能求出EF•FC的值．

解答 （本小題滿分10分）
證明：（Ⅰ）由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，
∴EA為圓D的切線  …（1分）
依據(jù)切割線定理得EA²=EF•EC，…（2分）
另外圓O以BC為直徑，∴EB是圓O的切線，…（3分）
同樣依據(jù)切割線定理得EB²=EF•EC，…（4分）
故|AE|=|EB|．…（5分）
解：（Ⅱ）連結(jié)BF，∵BC為圓O直徑，∴BF⊥EC，…（6分）
由${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}BC•BE$=$\frac{1}{2}CE•BF$，得BF=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（8分）
又在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF²=$\frac{4}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查線段相等的證明，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理和射影定理的合理運(yùn)用．