Question

8．將長度為a的木條折成三段，求三段能構(gòu)成三角形的概率$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先設(shè)線段分成三段中兩段的長度分別為x、y，分別表示出線段隨機(jī)地折成3段的x，y的約束條件和3段構(gòu)成三角形的條件，再畫出約束條件表示的平面區(qū)域，代入幾何概型概率計(jì)算公式，即可求出構(gòu)成三角形的概率

解答 解：設(shè)三段長分別為x，y，a-x-y，
則線段隨機(jī)地折成3段的x，y的約束條件為 $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜a}\\{0＜y＜a}\\{0＜a-x-y＜a}\end{array}\right.$，對應(yīng)區(qū)域如下圖三角形所示，其面積為 S=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
能構(gòu)成三角形的條件為 $\left\{\begin{array}{l}{x+y＞a-x-y}\\{x+a-x-y＞y}\\{y+a-x-y＞x}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{2x+2y＞a}\\{a-2y＞0}\\{a-2x＞0}\end{array}\right.$．
對應(yīng)區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積S_陰影=$\frac{1}{2}×\frac{a}{2}×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{2}}{8}$，
故把一條線段隨機(jī)地分成三段，這三段能夠構(gòu)成三角形的概率P=$\frac{\frac{{a}^{2}}{8}}{\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{1}{4}$；
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何概型，利用條件建立不等式條件是解決本題的關(guān)鍵．