Question

8．已知直線l₁：x+y-2=0，直線l₂過點（0，5），記l₁，l₂的夾角為θ，若sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則l₁，l₂的交點坐標為（　　）

• A． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
• B． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 由題意和夾角公式易得直線l₂的斜率，可得方程，分別和l₁聯(lián)立解方程組可得交點坐標．

解答 解：∵l₁，l₂的夾角為θ，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=2，
∵直線l₁：x+y-2=0的斜率為-1，設直線l₂的斜率為k，
∴2=|$\frac{-1-k}{1+（-1）k}$|，解得k=$\frac{1}{3}$或k=3，
∴直線l₂的方程為y=$\frac{1}{3}$x+5或y=3x+5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{y=\frac{1}{3}x+5}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{4}}\\{y=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{y=3x+5}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$．
∴l(xiāng)₁，l₂的交點坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）或（-$\frac{9}{4}$，$\frac{17}{4}$）
故選：A

點評 本題考查直線的交點坐標，涉及直線的夾角公式和分類討論，屬中檔題．