Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC； 
（Ⅱ）若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可說明PA⊥EF，然后證明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）證明MF∥PA，然后證明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可阿門平面MEF∥平面PAB，從而證明ME∥平面PAB．
（Ⅲ）以AB，AC，AP分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．
所以AB⊥AC．
由E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，得EF∥AB，
所以EF⊥AC．…（1分）
因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
所以PA⊥底面ABCD．…（2分）
又因?yàn)镋F?底面ABCD，
所以PA⊥EF．…（3分）
又因?yàn)镻A∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)分別為AD的中點(diǎn)，
所以MF∥PA，
又因?yàn)镸F?平面PAB，PA?平面PAB，
所以MF∥平面PAB．…（5分）
同理，得EF∥平面PAB．
又因?yàn)镸F∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，
所以平面MEF∥平面PAB．…（7分）
又因?yàn)镸E?平面MEF，
所以ME∥平面PAB．…（9分）
（Ⅲ）解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC兩兩垂直，故以AB，AC，AP
分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E（1，1，0），
所以$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-2，2，-2）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，…（10分）
設(shè)$\frac{PM}{PD}={λ_{\;}}（λ∈[0，1]）$，則$\overrightarrow{PM}=（-2λ，2λ，-2λ）$，
所以M（-2λ，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{ME}=（1+2λ，1-2λ，2λ-2）$，
易得平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．…（11分）
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.$
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．…（12分）
因?yàn)橹本€ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
所以$|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{m}＞|=|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{n}＞|$，即$\frac{|\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{ME}|•|\overrightarrow{m}|}=\frac{|\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{ME}|•|\overrightarrow{n}|}$，…（13分）
所以 $|2λ-2|=|\frac{2λ}{{\sqrt{3}}}|$，
解得$λ=\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$，或$λ=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$（舍）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力邏輯推理能力的應(yīng)用．