Question

11．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線3x²-y²=3a²（a＞0）的左、右焦點，P是拋物線y²=8ax與雙曲線的一個交點，若|PF₁|+|PF₂=12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2．

Answer 1

分析 確定雙曲線的焦點坐標(biāo)，結(jié)合題意，確定焦半徑，利用雙曲線的定義可解．

解答 解：由雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}=1$（a＞0）得c=2a
∴F₁（-2a，0），F(xiàn)₂（2a，0），
由拋物線方程y²=8ax，設(shè)F₂（2a，0）為拋物線的焦點，其準(zhǔn)線為x=-2a，過F₁點
則有|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|+|PF₂|=12，
∴|PF₁|=6+a，|PF₂|=6-a，
又雙曲線左準(zhǔn)線為x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}a$，離心率e=2
∴|PF₁|=2x_P+a=6+a，∴x_P=3
∴|PF₂|=x_P+2a=6-a，∴a=1
∴拋物線方程為y²=8x，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2．
故答案為：x=-2．

點評 本題綜合考查拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)，考查方程思想，解題的關(guān)鍵是靈活運用定義解題，并學(xué)會從方程到圖形來溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系．