Question

8．某研究性學(xué)習(xí)小組通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列四個(gè)式子的結(jié)果均為同一常數(shù)：
sin²5°+sin²65°+sin²125°；
sin²10°+sin²70°+sin²130°；
sin²30°+sin²90°+sin²150°；
sin²45°+sin²105°+sin²165°．
請(qǐng)你根據(jù)上述某一表達(dá)式的結(jié)果，寫出一般性命題并給予證明．

Answer 1

分析 利用給出的式子得出角度的關(guān)系，得出推理的恒等式，再利用三角函數(shù)公式展開證明即可．

解答 解：①sin²5°+sin²65°+sin²125°=sin²5°+sin²（60°+5°）+sin^2（120°+5°）
=sin²5°+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5°$+\frac{1}{2}$sin5°）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5°$+\frac{1}{2}$sin5°）²
=sin²5°+$\frac{1}{4}$sin²5°+$\frac{3}{4}$cos²5°+$\frac{1}{4}$sin²5°+$\frac{3}{4}$cos²5°=$\frac{3}{2}$（sin²5°+cos²5°）=$\frac{3}{2}$
②sin²10°+sin²70°+sin²130°=sin²10°+sin²（60°+10°）+sin^2（120°+10°）
=sin²10°+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos10°$+\frac{1}{2}$sin10°）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos10°$+\frac{1}{2}$sin10°）²
=sin²10°+$\frac{1}{4}$sin²10°+$\frac{3}{4}$cos²10°+$\frac{1}{4}$sin²10°+$\frac{3}{4}$cos²10°=$\frac{3}{2}$（sin²10°+cos²10°）=$\frac{3}{2}$
③sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{1}{4}$+1$+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$
④sin²45°+sin²105°+sin²165°=sin²45°+sin²（60°+45°）+sin^2（120°+45°）
=$\frac{1}{2}+$sin²75°+sin²15°=$\frac{1}{2}+$sin²75°+cos²75°=$\frac{1}{2}+$1=$\frac{3}{2}$
根據(jù)恒等式歸納得出：
sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=$\frac{3}{2}$，
證明：左邊=sin²α°+sin²（60°+α）+sin^2（120°+α）
=sin²α+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα$+\frac{1}{2}$sinα）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα$+\frac{1}{2}$sinα）²
=sin²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{1}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{2}$（sin²α+cos²α）=$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題靠考查了歸納推理的思想，三角函數(shù)恒等式的證明，關(guān)鍵是觀察給出的式子的角度的關(guān)系，屬于中檔題．