Question

如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，△OAB是正三角形，其中A（2，π），將△OAB沿極軸按順時針方向滾動，點A從開始運動到第一次回到極軸上，其軌跡為G．

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程；
（2）求曲線G與極軸所在直線圍成的區(qū)域面積．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,定積分

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）直接由題意得到A由（2，π）轉(zhuǎn)到（2，

π

3

）時的極坐標(biāo)方程，然后求出A由（2，

π

3

）轉(zhuǎn)到（4，0）時的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ得答案；
（2）把曲線G與極軸所在直線圍成的區(qū)域分割為兩個半徑是2，中心角是

2π

3

的扇形與一個邊長為2的正三形，則區(qū)域面積可求．

解答： 解：（1）由題意可知，當(dāng)A由（2，π）轉(zhuǎn)到（2，

π

3

）時，極徑為定值2；
當(dāng)A由（2，

π

3

）轉(zhuǎn)到（4，0）時，A點的軌跡是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓弧，
圓弧的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4（1≤x≤4）．
整理得，x²+y²=4x（1≤x≤4），
化為極坐標(biāo)方程得：ρ=4cosθ(0≤θ≤

π

3

)．
∴曲線G的極坐標(biāo)方程為ρ=

2， π 3 ＜θ≤π 4cosθ，0≤θ≤ π 3

；
（2）曲線G與極軸所在直線圍成的區(qū)域可分為兩個半徑是2，中心角是

2π

3

的扇形與一個邊長為2的正三角形，
面積等于2×

1

3

π×22+

1

2

×2×

3

=

8π

3

+

3

．

點評：本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了圓的面積與三角形的面積公式，是中檔題．