Question

18．已知cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$≤α+β＜2π，求cos2β的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α-β）與cos（α+β）的值，所求式子角度變形后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$≤α+β＜2π，
∵cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\sqrt{1-（-\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
則cos2β=cos[（α-β）-（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）+sin（α-β）sin（α+β）=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．