Question

3．直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，則“k=1”是“|AB|=$\sqrt{2}$”的（　�。�

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合直線和圓相交的弦長公式進行判斷即可．

解答 解：∵直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則|AB|=2$\sqrt{1-kxdg7in^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
當k=1時，|AB|=$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，即充分性成立，
若|AB|=$\sqrt{2}$，則$2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，
即k²=1，解得k=1或k=-1，即必要性不成立，
故“k=1”是“|AB|=$\sqrt{2}$”的充分不必要條件，
故選：A

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷以及直線和圓相交的弦長的計算，根據(jù)弦長公式是解決本題的關鍵．