Question

13．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}滿足：
a₁=b₁∈（0，2]，$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．
 若（1+$\frac{1}{_{1}}$）（1+$\frac{1}{_{2}}$）…（1+$\frac{1}{_{n}}$）≥λ（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）（n∈N^*），
則實(shí)數(shù)λ的最大值為1．

Answer 1

分析 由條件將n換為n+1，推得$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，再將含λ的不等式，化簡(jiǎn)整理，可得λ≤1+b₁，由b₁∈（0，2]，可得λ的最大值．

解答 解：n≥2時(shí)，
∵$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2且n∈N^*），
所以$\frac{_{n}+1}{_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2且n∈N^*），
∴（1+$\frac{1}{_{1}}$）（1+$\frac{1}{_{2}}$）…（1+$\frac{1}{_{n}}$）=$\frac{1+_{1}}{_{1}}$•$\frac{1+_{2}}{_{2}}$•…•$\frac{1+_{n}}{_{n}}$
=$\frac{1}{_{1}}$•$\frac{1+_{1}}{_{2}}$•$\frac{1+_{2}}{_{3}}$•…•$\frac{1+_{n-1}}{_{n}}$•$\frac{1+_{n}}{_{n+1}}$•b_n+1
=$\frac{1}{_{1}}$•$\frac{1+_{1}}{_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$•…$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•b_n+1
=$\frac{1+_{1}}{_{1}}$•$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$•$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$（1+b₁）（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=（1+b₁）（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
由1+b₁∈（1，3]，
故λ≤1，λ的最大值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，考查累乘法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，具有一定的難度．