Question

8．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，b=4，則△ABC的面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通過(guò)余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，然后求解三角形的面積的最大值．

解答 解：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，b=4，
可得：16=b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)等號(hào)成立．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×16×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=4\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，${（{S_{△ABC}}）_{max}}=4\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．