8.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a2+b2-c2=ab.
(Ⅰ)求角C的大;
(Ⅱ)若a=5,c=7,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)由a2+b2-c2=ab,然后利用余弦定理表示出cosC的式子,把變形得到的式子代入即可求出cosC的值,然后根據(jù)角C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù).
(Ⅱ)由正弦定理可求sinA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA,利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB,根據(jù)三角形面積公式即可得解.

解答 解:(Ⅰ)由a2+b2-c2=ab,
根據(jù)余弦定理得:cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,
又C∈(0,π),所以C=$\frac{π}{3}$.
(Ⅱ)∵C=$\frac{π}{3}$,a=5,c=7,
∴由正弦定理可得:sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,可求cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{11}{14}$,
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{11}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×7×$$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 此題主要考查了余弦定理,正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了整體代換的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合題.

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