Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E、F分別為 PD、BC的中點，面PAB∩面PCD=l．
（1）證明：l∥AB；
（2）（文）證明：EF∥平面PAB．
（3）（理）在線段PD上是否存在一點G，使FG∥面ABE？若存在，求出$\frac{PG}{GD}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明AB∥面PCD，然后證明l∥AB．
（2）（文）取PA中點M，連接BM，EM，證明四邊形BFEM為平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥面PAB．
（3）（理）取AD中點N，證明FN∥面ABE，證明面FNG∥面ABE，說明G為ED中點，通過線段關系求出$\frac{PG}{GD}=3$．

解答 （1）證明：∵ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，又AB?面PCD，
∴AB∥面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l(xiāng)∥AB．（6分）
（文）（2）取PC中點M，連接BM，EM，則$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，又∵$BF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
∴$EM\underline{\underline{∥}}BF$，∴四邊形BFEM為平行四邊形，∴EF∥BM，
∵EF?面PAB，BM⊆面PAB，∴EF∥面PAB．（12分）
（理）（3）取AD中點N，則FN∥AB，∴FN∥面ABE，
∵FG∥面ABE，∴面FNG∥面ABE，
∴AE∥NG，又∵N為ED中點，∴G為ED中點，
∴EG=GD，又PE=ED，∴$\frac{PG}{GD}=3$． （12分）

點評 本題考查直線與平面平行，點線面距離的計算，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．