Question

3．點(diǎn)P為正四面體ABCD的外接球上一動(dòng)點(diǎn)，求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$|的最大值．

Answer 1

分析 由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正四面體的棱長，得到A，B，C，D的坐標(biāo)，再設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$|，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正四面體的棱長為$2\sqrt{2}a$，
則A（-a，-a，a），B（a，a，a），C（-a，a，-a），D（a，-a，-a），
設(shè)P（x，y，z），則x²+y²+z²=1．

則$\overrightarrow{PA}=（-a-x，-a-y，a-z）$，$\overrightarrow{PB}=（a-x，a-y，a-z）$，
$\overrightarrow{PC}=（-a-x，a-y，-a-z）$，$\overrightarrow{PD}=（a-x，-a-y，-a-z）$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（-2x，-2y，2a-2z），
$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=（-2x，-2y，-2a-2z），
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|+|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（a-z）^{2}}+2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+（a+z）^{2}}$
=2（$\sqrt{1-{z}^{2}+{a}^{2}-2az+{z}^{2}}$$+\sqrt{1-{z}^{2}+{a}^{2}+2az+{z}^{2}}$）
=2（$\sqrt{-2az+{a}^{2}+1}+\sqrt{2az+{a}^{2}+1}$）≤$2×2\sqrt{-2az+{a}^{2}+1+2az+{a}^{2}+1}$=$4\sqrt{2{a}^{2}+2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{-2az+{a}^{2}+1}=\sqrt{2az+{a}^{2}+1}$，即-2az+a²+1=2az+a²+1，即z=0時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量模的求法，訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求解向量模的最值問題，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，屬難題．