Question

15．已知函數(shù)f（x）=-4^x+2^x+1+15
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）若函數(shù)的定義域為[-1，0]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可令2^x=t（t＞0），從而可以得到y(tǒng)=-t²+2t+15，然后令f（x）=0，便可得到-t²+2t+15=0，可以解出t，從而得出對應(yīng)的x值，即得出f（x）的零點；
（Ⅱ）根據(jù)條件可以由x∈[-1，0]得到t$∈[\frac{1}{2}，1]$，然后配方可得到y(tǒng)=-（t-1）²+16，這樣根據(jù)t的范圍即可求出y的最大、最小值，即得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-4^x+2^x+1+15=-（2^x）²+2•2^x+15；
令2^x=t（t＞0），則y=-t²+2t+15；
令f（x）=0，即-t²+2t+15=0，解得t=5或t=-3（舍去）；
∴2^x=5，x=log₂5；
∴函數(shù)f（x）的零點為log₂5；
（Ⅱ）x∈[-1，0]時，t∈$[\frac{1}{2}，1]$；
y=-t²+2t+15=-（t-1）²+16；
∴t=1時，y取最大值16，$t=\frac{1}{2}$時，y取最小值$\frac{63}{4}$；
∴函數(shù)f（x）的值域為$[\frac{63}{4}，16]$．

點評 考查函數(shù)零點的概念及求法，換元法的應(yīng)用，解一元二次方程，以及指數(shù)式和對數(shù)式的互化，配方求二次函數(shù)最值，從而得出二次函數(shù)值域的方法．