Question

4．下列命題：①已知A、B、C是三角形ABC的內(nèi)角，則A=B是sinA=sinB的充要條件；②設(shè)$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$為向量，如果|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，則$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；③設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為向量，則“$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”的充分不必要條件；④設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為向量，“$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$”是“$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$共線”的充要條件，正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)三角形中A，B的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)①，將|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|兩邊平方推導(dǎo)②，根據(jù)向量的數(shù)量積定義判斷③，利用向量的共線定理判斷④．

解答 解：對于①若A=B，顯然sinA=sinB，
若sinA=sinB，則A=B+2kπ或A+B=π+2kπ，
∵0＜A，B＜π，0＜A+B＜π，
∴A=B．
∴A=B是sinA=sinB的充要條件，故①正確．
對于②，若|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，則${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．故②正確．
對于③，設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，
若$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$，則cosθ=±1，
∴θ=0或θ=π，
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$．
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，則θ=0或θ=π，
∴|cosθ|=1，
∴$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$．
∴“$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”的充分必要條件，故③錯誤．
對于④，若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$共線，則$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，
顯然“$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$”不是“$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow b$共線“的必要條件，故④錯誤．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積定義，充分必要條件的判斷，屬于中檔題．