Question

10．若$\frac{cos2α}{sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，且α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則tan2α的值為-$\frac{3\sqrt{91}}{91}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)倍角公式和兩角和的正弦公式得到cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，再平方，得到sin2α=$\frac{3}{10}$，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出答案．

解答 解：∵$\frac{cos2α}{sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}$=$\sqrt{2}$（cosα-sinα）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
∴（cosα-sinα）²=1-2sin2α=$\frac{2}{5}$，
∴sin2α=$\frac{3}{10}$，
∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{91}}{10}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=-$\frac{3}{\sqrt{91}}$=-$\frac{3\sqrt{91}}{91}$，
故答案為：-$\frac{3\sqrt{91}}{91}$

點評 本題考查的兩角和的正弦公式，二倍角公式，同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．