Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB＜CD，PD⊥平面ABCD，AB=AD=a，PD=

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a．
（1）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（2）設(shè)M為PB中點，當(dāng)CD=2AB時，求證：DM⊥MC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得平面ABCD⊥平面PMN，從而PD⊥AB，進而AB⊥平面PAD．由此能證明平面PAB⊥平面PAD．
（2）連結(jié)BD，設(shè)CD中點為N，連結(jié)BN，且DN=AB，BN∥AD，BN⊥CD，由已知得CB⊥BD，PD⊥BC，BC⊥平面PBD．由此能證明DM⊥MC．

解答： 證明：（1）∵∠BAD=90°，∴AB⊥CD．
又PD⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PMN，
∴PD⊥AB．∵PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD．
又AB⊆平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）連結(jié)BD，∵∠BAD=90°，AB=AD=a，
∴BD=

2

a，∴PD=BD，∠BDA=45°．
又M為PB中點，∴DM⊥PB…①．
設(shè)CD中點為N，連結(jié)BN，且DN=AB，
∴BN∥AD，BN⊥CD．∵CD=2AB，AB=AD，
∴CN=BN，即∠CBN=45°，
∴∠CBD=90°，CB⊥BD，
PD⊥平面ABCD，PD⊥BC，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．
∵DM⊆平面PBD，∴BC⊥DM…②
由①②，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PBC，
而CM⊆平面PBC，∴DM⊥MC．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．