Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為AB的中點，則二面角B-CA₁-P的大小為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCA₁的法向量和平面PCA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-CA₁-P的大�。�

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
C（0，2，0），B（2，2，0），A₁（2，0，2），
P（2，1，0），$\overrightarrow{{CA}_{1}}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（2，-1，0），
設(shè)平面BCA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)平面PCA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
設(shè)二面角B-CA₁-P的平面角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．