Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是實數(shù)R上的奇函數(shù)，若關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}$=x²-2ex+m的根的個數(shù)為2，則實數(shù)m的范圍為（　�。�

• A． m≥e²+$\frac{1}{e}$
• B． m＞$\frac{1}{e}$
• C． m＜e²+$\frac{1}{e}$
• D． m≤$\frac{1+e}{e}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶數(shù)建立方程關(guān)系求出a的值，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是實數(shù)R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=ln（1+a）=0，
即1+a=1，解得a=0，
即f（x）=ln（e^x）=x，
則方程$\frac{lnx}{f（x）}$=x²-2ex+m等價為方程$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=x²-2ex+m=（x-e）²+m-e²．
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，
∴h（x）在（0，e）單調(diào)遞增；在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$．
g（x）=x²-2ex+m=（x-e）²+m-e²為二次函數(shù)，在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=m-e²．
故①m-e²＞$\frac{1}{e}$．，即m＞e²+$\frac{1}{e}$時，無解；
②當m-e²=$\frac{1}{e}$，即m=e²+$\frac{1}{e}$時，有一解；
③當m-e²＜$\frac{1}{e}$，即m＜e²+$\frac{1}{e}$時，有二解．
故若關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}$=x²-2ex+m的根的個數(shù)為2個，則m＜e²+$\frac{1}{e}$．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)方程根的個數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．