Question

7．已知定義域?yàn)閇1，2]的函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象過點(diǎn)（2，3）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若g（x）=f（x）+f（x²），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象過點(diǎn)（2，3），代入可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）=f（x）+f（x²）的解析式，進(jìn)而分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求出函數(shù)的最值后，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象過點(diǎn)（2，3），
∴3=2+log_a2，即log_a2=1，
解得：a=2…（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（x²）=4+3log₂x…（8分）
故g（x）的定義域滿足$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ 1≤{x^2}≤2\end{array}\right.⇒1≤x≤\sqrt{2}$…（10分），
且函數(shù)g（x）在定義域[1，$\sqrt{2}$]為增函數(shù)，
由g（1）=4，g（$\sqrt{2}$）=$\frac{11}{2}$，
故g（x）值域?yàn)?[{4，\frac{11}{2}}]$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值及值域，難度中檔．