Question

4．已知函數(shù)F（x）=（$\frac{lnx}{x}$）²+（a-1）$\frac{lnx}{x}$+1-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃），則（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）的值為（　�。�

• A． 1-a
• B． a-1
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 令y=$\frac{lnx}{x}$，從而求導(dǎo)y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令$\frac{lnx}{x}$=t，從而化為t²+（a-1）t+1-a=0有兩個(gè)不同的根，從而可得a＜-3或a＞1，討論求解即可．

解答 解：令y=$\frac{lnx}{x}$，則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
故當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，y′＞0，y=$\frac{lnx}{x}$是增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＞0，y=$\frac{lnx}{x}$是減函數(shù)；且$\underset{lim}{x→0}$$\frac{lnx}{x}$=-∞，$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{lnx}{x}$=0；
令$\frac{lnx}{x}$=t，則可化為t²+（a-1）t+1-a=0，故結(jié)合題意可知，t²+（a-1）t+1-a=0有兩個(gè)不同的根，
故△=（a-1）²-4（1-a）＞0，故a＜-3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為t₁，t₂，
①若a＜-3，t₁+t₂=1-a＞4，
與t₁≤$\frac{1}{e}$且t₂≤$\frac{1}{e}$相矛盾，故不成立；
②若a＞1，則方程的兩個(gè)根t₁，t₂一正一負(fù)；
不妨設(shè)t₁＜0＜t₂，結(jié)合y=$\frac{lnx}{x}$的性質(zhì)可得，$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$=t₁，$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$=t₂，$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$=t₂，
故（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）
=（1-t₁）²（1-t₂）（1-t₂）
=（1-（t₁+t₂）+t₁t₂）²
又∵t₁t₂=1-a，t₁+t₂=1-a，
∴（1-$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$）²（1-$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$）（1-$\frac{ln{x}_{3}}{{x}_{3}}$）=1；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論思想的應(yīng)用．