Question

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f(

2013

2

)的值是（　�。�

• A、

  2013

  2

• B、1
• C、

  2015

  2

• D、0

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來看，選用遞推的方法，用賦值法依次求出f（

1

2

）=0，f（

3

2

）=0．f（

5

2

）=0，f（

7

2

）=0，于是可以找到規(guī)律，問題得以解決．

解答： 解：∵xf（x+1）=（1+x）f（x），
令x=-

1

2

，
則-

1

2

f（-

1

2

+1）=（1-

1

2

）f（-

1

2

），
∴f（

1

2

）=0，
同理可求 f（

3

2

）=0，f（

5

2

）=0，f（

7

2

）=0，
由以上可得f（

x

2

）=0，x∈2n+1．n∈N，
所以f(

2013

2

)=0．
故選：D．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)用遞推的方法求函數(shù)值，這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機地結(jié)合起來，作適當(dāng)變形，把握遞推的規(guī)律．解題中要注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．