Question

3．若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a₂=3，且數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₂，a₅恰為等比數(shù)列{b_n}的前兩項(xiàng)，且數(shù)列{2b_n}的前m項(xiàng)和T_m為3²⁰¹⁵-3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的首項(xiàng)和公差，求出其通項(xiàng)公式，然后利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中的通項(xiàng)公式求得a₅，得到等比數(shù)列的公比，然后求出數(shù)列{2b_n}的前m項(xiàng)和得答案．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂=3，∴$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{{a}_{1}}=1$，$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}=\sqrt{1+3}=2$，
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差d=2-1=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{{S}_{1}}+1×（n-1）=1+n-1=n$，
即${S}_{n}={n}^{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$，
n=1適合上式，
∴a_n=2n-1；
（2）a₂=3，a₅=2×5-1=9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=3，
則$_{n}=_{1}{q}^{n-1}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$，
∴數(shù)列{2b_n}的前m項(xiàng)和T_m=$2×\frac{3（1-{3}^{m}）}{1-3}={3}^{m+1}-3$，
由3^m+1-3=3²⁰¹⁵-3，得m=2014．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．