Question

10．已知函數(shù)f（x）=|ax-1|．
（1）當(dāng)a=3時，求f（x）≤2x的解集；
（2）若?x∈R，都有f（x）≤|x-2|恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （1）解絕對值不等式求得x的范圍．
（2）由題意可得（a²-1）x²+（4-2a）x-3≤0恒成立．故有a²＜1 且△=（4-2a）²+12（a²-1）≤0，即 （2a-1）²≤0，由此求得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，不等式f（x）=|3x-1|≤2x，即-2x≤3x-1≤2x，求得$\frac{1}{5}$≤x≤1，
故不等式的解集為[$\frac{1}{5}$，1]．
（2）若?x∈R，都有f（x）≤|x-2|恒成立，即|ax-1|≤|x-2|恒成立，即 a²x²-2ax+1≤x²-4x+4，
即 （a²-1）x²+（4-2a）x-3≤0恒成立．
顯然，a≠±1，∴a²＜1 且△=（4-2a）²+12（a²-1）≤0，即 （2a-1）²≤0，
求得a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．