Question

16．每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時(shí)尚，還能增進(jìn)彼此的感情．2015年中秋節(jié)期間，小魯在自己的微信校友群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機(jī)發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā)放1個(gè)，每個(gè)人搶到的概率相同．
（1）若小魯隨機(jī)發(fā)放了3個(gè)紅包，求甲至少得到1個(gè)紅包的概率；
（2）若丁因有事暫時(shí)離線一段時(shí)間，而小魯在這段時(shí)間內(nèi)共發(fā)放了3個(gè)紅包，其中2個(gè)紅包中各有5元，1個(gè)紅包有10元，記這段時(shí)間內(nèi)乙所得紅包的總錢數(shù)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“甲至少得1紅包”為事件A，由已知利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．
（2）由題意知X可能取值為0，5，10，15，20，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X分布列和E（X）．

解答 解（1）設(shè)“甲至少得1紅包”為事件A，由題意得：
$P（A）=C_3^1×\frac{1}{4}×{（\frac{3}{4}）^2}+C_3^2×{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}+C_3^3×{（\frac{1}{4}）^3}×{（\frac{3}{4}）^0}=\frac{37}{64}$…（4分）
（2）由題意知X可能取值為0，5，10，15，20．…（5分）
$\begin{array}{l}P（X=0）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}\\ P（X=5）=C_2^1×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}\\ P（X=10）={（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\\ P（X=15）=C_2^1×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{4}{27}\\ P（X=20）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}…（10分）\end{array}$
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

E（X）=$0×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}$+$10×\frac{2}{9}+15×\frac{4}{27}$+$20×\frac{1}{27}$=$\frac{20}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．