Question

4．點(diǎn)M（x，y）（x≥0）與點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C方程；
（2）過曲線C上的點(diǎn)P（x₀，2）作兩條弦PA，PB交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若PA、PB所在直線的斜率之和為零，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，由此能求出動點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y-2=k（x-1），由與y²=4x聯(lián)立，消去y，得k²x²+[2k（2-k）-4]x+（2-k）²=0，再由韋達(dá)定理可以得到直線AB的斜率．

解答 解：（1）∵動點(diǎn)M（x，y）（x≥0）到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，
整理，得y²=4x，
∴動點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）由題意，x₀=1．
設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）（x_A≠x_B），直線PA的斜率為k（k≠0），則直線PB的斜率為-k，
直線PA的方程為y-2=k（x-1），
與y²=4x聯(lián)立，消去y，得k²x²+[2k（2-k）-4]x+（2-k）²=0，
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，
所以由韋達(dá)定理A（$\frac{（2-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{4-2k}{k}$）．
同理B（（$\frac{2+k}{-k}$）²，$\frac{4+2k}{-k}$），
∴y_A+y_B=-4
又y_A²=4x_A，y_B²=4x_B，
∴（y_A+y_B）（y_A-y_B）=3（x_A-x_B），
又x_A≠x_B，
∴k_AB=3÷（y_A+y_B）=-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的軌跡方程和直線方程的求法，考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．