Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinB+$\sqrt{3}$acosB=$\sqrt{3}c$．
（1）求A的大小
（2）若c=3b，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正弦定理和誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式，結(jié)合同角的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理，即可得到A；
（2）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由正弦定理可得，
sinAsinB+$\sqrt{3}$sinAcosB=$\sqrt{3}$sinC，
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
即有sinAsinB=$\sqrt{3}$cosAsinB，
即tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$，
0＜A＜π，則A=$\frac{π}{3}$；
（2）由A=$\frac{π}{3}$，則B+C=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理，可得c=3b，即為
sinC=3sinB，
即sinC=3sin（$\frac{2π}{3}$-C）=3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC），
即有-sinC=3$\sqrt{3}$cosC，
則tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，運(yùn)用兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵．