Question

6．已知橢圓的離心率e=$\frac{4}{5}$，一條準線的方程為y=-$\frac{25}{4}$，求此橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 設橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用橢圓的離心率公式和準線方程、以及基本量a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到所求橢圓方程．

解答 解：設橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{25}{4}$，a²-b²=c²，
解得a=5，b=3，c=4，
可得橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查橢圓的離心率公式和準線方程，考查運算能力，屬于基礎題．