Question

7．在△ABC中，若（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，則cosA的最小值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的定義，利用基本不等式求出cosA的最小值即可．

解答 解：△ABC中，（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{CB}$，
∴（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{CB}$=0；
又$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，
∴（4$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
展開得4${\overrightarrow{AB}}^{2}$-5$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{5}$（4${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$）；
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cosA，
∴cosA=$\frac{1}{5}$•$\frac{{4\overrightarrow{AB}}^{2}{+\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{5}$•（$\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$）；
又$\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$≥2$\sqrt{\frac{4|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}•\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}}$=4，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|時(shí)，cosA=$\frac{4}{5}$取得最小值．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積解答垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了應(yīng)用基本不等式求最值的問題，
是中檔題目．