Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²f′（1）+1，且f′（-1）=9．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若存在x∈（1，+∞）使得函數(shù)f（x）＜m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令x=1，x=-1，得到方程，解得a=1，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）存在x∈（1，+∞）使得函數(shù)f（x）＜m成立，即有m＞f（x）_min，求出函數(shù)f（x）在（1，+∞）的單調(diào)區(qū)間，求得最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+x²f′（1）+1的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=3ax²+2xf′（1），
令x=1，則f′（1）=3a+2f′（1），即為f′（1）=-3a，
由f′（-1）=9，可得3a-2•（-3a）=9，
解得a=1，即有f′（1）=-3，
則f（x）=x³-3x²+1，
即有f（1）=1-3+1=-1，
則f（x）在x=1處的切線方程為y+1=-3（x-1），
即有3x+y-2=0；
（2）f（x）=x³-3x²+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-6x，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=2處，f（x）取得極小值，且為最小值，且f（2）=-3，
存在x∈（1，+∞）使得函數(shù)f（x）＜m成立，
即有m＞f（x）_min=-3，
故m的取值范圍為（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式存在性問題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．