Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈R．
（1）若f（2-x）=f（2+x），求實數(shù)a的值？
（2）當x∈[-2，4]時，求函數(shù)f（x）的最大值？
（3）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的最小值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對稱性，得到對稱軸為x=2，繼而求出a的值，
（2）根據(jù)對稱軸，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）的最大值，
（3）根據(jù)對稱軸，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）≥a恒成立，求出a的最小值．

解答 解：（1）f（2-x）=f（2+x），
∴對稱軸x=2，
∴-$\frac{1}{2}$a=2，
∴a=-4，
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
當-$\frac{1}{2}$a≤-2時，即a≥4時，函數(shù)f（x）在[-2，4]單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（4）=4a+19，
當-$\frac{1}{2}$a≥4時，即a≤-8時，函數(shù)f（x）在[-2，4]單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（2）=2a+7，
當-2＜-$\frac{1}{2}$a≤4時，即-8＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$a，4]單調(diào)遞增，
∵f（4）=4a+19，f（2）=2a+7，
當4a+19≥2a+7時，即-6≤a＜4時，f（x）_max=f（4）=4a+19，
當4a+19＜2a+7時，即-8＜a＜-6時，f（x）_max=f（2）=2a+7，
綜上所述：當a≥-6時，f（x）_max=4a+19，當a＜-6時，f（x）_max=2a+7；
（3）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
當-$\frac{1}{2}$a≤-2時，即a≥4時，函數(shù)f（x）在[-2，2]單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
當-$\frac{1}{2}$a≥2時，即a≤-4時，函數(shù)f（x）在[-2，2]單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（2）=2a+7，
當-2＜-$\frac{1}{2}$a≤2時，即-4＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$a，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}a$）=3-$\frac{1}{4}$a²，
∵x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，
∴當a≥4時，-2a+7≥a，解得a≤$\frac{7}{3}$，此時無解，
當a≤-4時，2a+7≥a，解得a≥-7，即-7≤a≤-4，此時實數(shù)a的最小值為-7，
當-4＜a＜4時，3-$\frac{1}{4}$a²≥a，解得-6≤a≤2，即-4＜a≤2，此時實數(shù)a的最小值為-4，
綜上所述a的最小值為-7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．