Question

【題目】已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，且公差不為0，若，則（ ）

A. 45 B. 15 C. 10 D. 0

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得（-x）+f（x）=0，又由g（x）=f（x-5）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，可得f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得f（a1-5）=-f（a9-5）=f（5-a9），進(jìn)而可得a1-5=5-a9，即a1+a9=10，進(jìn)而計算可得答案．

根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，
則有f（-x）+f（x）=0，
∵g（x）=f（x-5）+x，
∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）=45，
即f（a1-5）+a1+f（a2-5）+a2+…+f（a9-5）+a9=45，
即f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）+（a1+a2+…+a9）=45，
f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）=0，
又由y=f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，且在R上是單調(diào)函數(shù)，
f（a1-5）+f（a2-5）+…+f（a9-5）是9項的和且和為0，
必有f（a1-5）+f（a9-5）=0，
則有a1-5=5-a9，
即a1+a9=10，
在等差數(shù)列中，a1+a9=10=2a5，
即a5=5，
則a1+a2+…+a9=9a5=45；
故選：A．