Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知點A為雙曲線x²-y²=4的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，△ABC為等邊三角形，則△ABC的面積為12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出雙曲線x²-y²=4的左頂點為A（-4，0），根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)出B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）的坐標，根據(jù)，△ABC是等邊三角形得（x₁+2）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，求出x₁和y₁的值，由此得BC=4$\sqrt{3}$，從而可以算出面積．

解答 解：雙曲線x²-y²=4的左頂點為A（-2，0），根據(jù)雙曲線的對稱性，
可設(shè)B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）．
由△ABC是等邊三角形⇒AB=BC，得：
（x₁+2）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，
又x₁²-y₁²=4，
∴x₁²-2x₁-8=0，∴x₁=-2或x₁=4
右支的范圍是x≥0，
所以x₁=4，從而y₁=±2$\sqrt{3}$，
由此BC=4$\sqrt{3}$
可以算出面積：S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（4\sqrt{3}）^{2}$=12$\sqrt{3}$．
故答案為：12$\sqrt{3}$．

點評 本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．