Question

15．已知雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其左、右焦點分別是F₁、F₂．已知點M坐標(biāo)為（2，1），雙曲線C上點 P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）滿足$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，則${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$=（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，得出∠MF₁P=∠MF₁F₂，進而求出直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3），與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），由此即可求出${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$．

解答 解：∵$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁P=|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁F₂，
∴∠MF₁P=∠MF₁F₂，
∵cos∠MF₁F₂=$\frac{5}{\sqrt{26}}$
∴cos∠PF₁F₂=2cos²∠MF₁F₂-1=$\frac{12}{13}$
∴tan∠PF₁F₂=$\frac{5}{12}$
∴直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3）
與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），
∴|PF₁|=$\frac{13}{2}$，
∵sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{26}}$
∴${S}_{△PM{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{2}$×$\sqrt{26}$×$\frac{1}{\sqrt{26}}$=$\frac{13}{4}$，
∵${S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1$=$\frac{5}{4}$，
∴${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$=2，
故選：C．

點評 本題考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．