Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R），在x=2處取得極小值-$\frac{4}{3}$．
（1）求a和b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若對任意x₁，x₂∈[-4，3]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m²+m+$\frac{14}{3}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由極值點及極小值，可得a，b的值．
（2）由導(dǎo)函數(shù)可得切線方程，由導(dǎo)函數(shù)為正可得原函數(shù)的增區(qū)間．
（3）只需確定出x∈[-4，3]時，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值即可，由最大值來小于等于右側(cè)即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R），
∴f′（x）=x²+a，
∵f（x）在x=2處取得極小值-$\frac{4}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-\frac{4}{3}}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，
∴a=-4，b=4，
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
∴f′（x）=x²-4，
f′（0）=-4，
切點為（0，4），
∴切線方程為：y-4=-4x，
即：y=-4x+4，
f′（x）＞0時的解為：x＞2或x＜-2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）．
（3）有（2）知，f（x）在[-4，-2）上是單調(diào)遞增，在（-2，2）上是單調(diào)遞減，在（2.3]上是單調(diào)遞增．
∴f（x）的極大值是f（-2）=$\frac{28}{3}$，極小值是f（2）=-$\frac{4}{3}$，
兩個端點值是f（-4）-$\frac{4}{3}$  f（3）=1，
要想對任意x₁，x₂∈[-4，3]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤m²+m+$\frac{14}{3}$恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于等于m²+m+$\frac{14}{3}$即可，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為f（-2）-f（2）=$\frac{32}{3}$，
∴m²+m+$\frac{14}{3}$≥$\frac{32}{3}$恒成立，
∴m²+m-6≥0，
即（m+3）（m-2）≥0，
∴m≤-3或m≥2．

點評 本題考查函數(shù)求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)極值和由導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間及切線方程問題，最后一問是考查最大值小于等于問題．