Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄也成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，從而討論公比以確定前n項(xiàng)和，從而證明．

解答 證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
①當(dāng)q=1時(shí)，S₇=7a₁，S₁₄-S₇=7a₁，S₂₁-S₁₄=7a₁，
故顯然成立，
②當(dāng)q≠1時(shí)，S₇=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，S₁₄-S₇=$\frac{{a}_{8}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，S₂₁-S₁₄=$\frac{{a}_{15}（1-{q}^{7}）}{1-q}$，
故$\frac{{S}_{21}-{S}_{14}}{{S}_{14}-{S}_{7}}$=$\frac{{a}_{15}}{{a}_{8}}$=q⁷，$\frac{{S}_{14}-{S}_{7}}{{S}_{7}}$=$\frac{{a}_{8}}{{a}_{1}}$=q⁷；
故S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比數(shù)列；
綜上所述，
S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．