Question

15．（1）求過兩圓x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的交點，且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程．
（2）已知圓C：x²+y²=4與點P（3，4），過P點做圓C的兩條切線．切點分別為A、B，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）解方程組求得兩圓交點的坐標，根據(jù)圓心在直線x-y-4=0上，可設圓心C（a，a-4），由CA=CB求得a的值，可得圓心和半徑，從而求得圓的方程．
（2）直線AB可看作已知圓與以AP為半徑的圓的交線，求出未知圓的方程，運用兩圓方程相減，即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}+6x-4=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+6y-28=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
故兩個圓的交點分別為A（-1，3）、B（-6，-2）．
根據(jù)圓心在直線x-y-4=0上，可設圓心C（a，a-4），
由CA=CB，可得 $\sqrt{{（a+1）}^{2}{+（a-4-3）}^{2}}$=$\sqrt{{（a+6）}^{2}{+（a-4+2）}^{2}}$，
求得a=$\frac{1}{2}$，故圓心為C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{2}$），半徑為CA=$\sqrt{{（\frac{3}{2}）}^{2}{+（-\frac{13}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{178}}{2}$，
故要求的圓的方程為${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y+\frac{7}{2}）}^{2}$=$\frac{89}{2}$．
（2）直線AB可看作已知圓與以AP為半徑P為圓心的圓的交線，x²+y²=4的圓心（0，0），半徑為2．
|AP|=$\sqrt{{PO}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
以AP為半徑P為圓心的圓的方程為：（x-3）²+（y-4）²=21，即x²+y²-6x-8y+4=0
將兩圓的方程相減得，6x+8y=8，即3x+4y-4=0．
∴直線AB的方程是3x+4y-4=0．

點評 本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線與圓的方程，及位置關系的判斷，考查基本的運算能力，屬于中檔題．