Question

20．為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)教師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中個(gè)隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”．

分?jǐn)?shù)	[50，59）	[60，69）	[70，79）	[80，89）	[90，100]
甲班頻數(shù)	5	6	4	4	1
乙班頻數(shù)	1	3	6	5	5

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”？

	甲班	乙班	總計(jì)
成績(jī)優(yōu)良
成績(jī)不優(yōu)良
總計(jì)

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$
臨界值表：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635

（2）現(xiàn)從上述40人中，學(xué)校按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核，在這8人中，記成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算出成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)，求出K²的值，判斷在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”
（2）先確定X的取值，分別求其概率，求出分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）

	甲班	乙班	總計(jì)
成績(jī)優(yōu)良	9	16	25
成績(jī)不優(yōu)良	11	4	15
總計(jì)	20	20	40

根據(jù)2×2列聯(lián)中的數(shù)據(jù)可得K²=$\frac{40（9×4-16×11）^{2}}{25×15×20×20}$≈5.227＞5.024，
∴在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”
（2）由表可知在8人中成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)為$\frac{15}{40}$×8=3，
X的可能取值為：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{33}{91}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{2}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{66}{455}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{4}{455}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{65}{455}$	$\frac{4}{455}$

∴E（X）=0×$\frac{33}{91}$+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$
X的數(shù)學(xué)期望$\frac{4}{5}$．
方法二：X滿足超幾何分布期望可以用公式E（X）=3×（$\frac{4}{15}$）=$\frac{4}{5}$，
X的數(shù)學(xué)期望$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，求X的分布列及其期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．