Question

6．正實數(shù)a，b滿足a^b=b^a，且0＜a＜1，則a，b的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＞b
• B． a=b
• C． a＜b
• D． 不能確定

Answer 1

分析 法一、由a^b=b^a，得$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}$，構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$，求導后利用其單調(diào)性分析；
法二由0＜a＜1，a^b=b^a，得blog_aa=alog_ab，即 $\frac{a}$=log_ab，然后利用反證法說明a=b．

解答 解：法一、由a^b=b^a，得blna=alnb，從而$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}$，
考慮函數(shù)y=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
∵在（0，1）內(nèi)f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，
由于0＜a＜1，b＞0，∴a^b＜1，從而b^a=a^b＜1．由b^a＜1及a＞0，
可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
則根據(jù)f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，
得f（a）≠f（b），即$\frac{lna}{a}≠\frac{lnb}$，
從而a^b≠b^a，這與a^b=b^a矛盾．
∴a=b；
法二、∵0＜a＜1，a^b=b^a，
∴blog_aa=alog_ab，即 $\frac{a}$=log_ab，
假如a＜b，則$\frac{a}$＞1，
∵a＜1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，
得log_ab＜log_aa=1，從而 $\frac{a}＞lo{g}_{a}b$，這與 $\frac{a}=lo{g}_{a}b$矛盾，
∴a不能小于b
假如a＞b，則$\frac{a}$＜1，而log_ab＞1，這也與$\frac{a}=lo{g}_{a}b$矛盾．
∴a不能大于b，因此a=b．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)的大小比較，考查了利用構(gòu)造函數(shù)法及反證法比較兩個實數(shù)的大小，是中檔題．