Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，則直線AC與平面A₁DC所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與平面A₁DC所成角的正弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)為2，
則A（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（-1，0，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面A₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
設(shè)直線AC與平面A₁DC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴直線AC與平面A₁DC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．