Question

15．在如圖所示的圓錐中，PO是圓錐的高，AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，E是線段AC的中點，D是線段PB上一點，且PO=2，OB=1．
（1）若D為PB的中點，試在PB上確定一點F，使得EF∥面COD，并說明理由；
（2）若PB⊥CD，求直線AC與面COD所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BE，設BE∩OC=G，連接DG，推導出EF∥DG，從而DF=PF=$\frac{1}{4}PB$，由此得到點F是PB上靠近點P的四等分點．
（2）過點A作AD₁⊥DO，則AD₁⊥面COD，由此能求出直線AC與面COD所成角θ的正弦值．

解答 解：（1）連接BE，設BE∩OC=G，由題意G為△ABC的重心，
∴$\frac{BG}{GE}=2$，連接DG，
∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，面BEF∩面COD=DG，
∴EF∥DG，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{BG}{GE}=\frac{2}{1}$，
又BD=DP，∴DF=PF=$\frac{1}{4}PB$，
∴點F是PB上靠近點P的四等分點．
（2）$\left.\begin{array}{l}PB⊥CD\\ PB⊥OC\end{array}\right\}⇒PB⊥面OCD⇒PB⊥OD$，
由平面幾何知識知$BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，CA=\sqrt{2}$，
過點A作AD₁⊥DO，垂足為D₁，∴AD₁⊥面COD，
由$△AO{D_1}≌△BOD⇒A{D_1}=BD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
又直線AC與面COD所成角θ，即$∠AC{D_1}•sinθ=sin∠AC{D_1}=\frac{{A{D_1}}}{AC}=\frac{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴直線AC與面COD所成角θ的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查使得線面平行的點的確定與求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．