Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3，求出a，b，即可求f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，分別聯(lián)立切線方程與x=1，y=x的方程可得三角形定點(diǎn)，利用三角形面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$，
∴f′（x）=a+$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3，
∴f′（2）=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0，
∵f（2）=2a+$\frac{1}{2+b}$=3，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$；
（2）f′（3）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，f（3）=$\frac{7}{2}$，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為y-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{4}$（x-3）．
切線與直線x=1交點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$）．                   
切線與直線y=x交點(diǎn)為（5，5）．
直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為（1，1）．                                     
從而所圍三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$-1||5-1|=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．