Question

3．如圖，△ABC為等邊三角形，D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點，DA⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，EB=2DA．
（Ⅰ）求證：平面EDC⊥平面EBC；
（Ⅱ）若∠EDC=90°，求直線EB與平面EC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AO⊥BC，從而FO⊥平面ABC，以O(shè)為原點，分別以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{OF}$的方向為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面EDC⊥平面EBC．
（Ⅱ）設(shè)直線EB與平面DEC所成角為θ，利用向量法能求出直線EB與平面EC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)F、O分別線段EC、BC的中點，AB=a，DA=b，
由題設(shè)，得FO∥EB，AO⊥BC，
∵EB⊥平面ABC，∴FO⊥平面ABC，
∴FO⊥BC，F(xiàn)O⊥AO，
如圖，以O(shè)為原點，分別以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{OF}$的方向為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b），E（-$\frac{1}{2}a$，0，2b），C（$\frac{1}{2}a$，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，b），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{1}{2}a，\frac{\sqrt{3}}{2}a，-b$），
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面EDC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay+bz=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay-bz=0}\end{array}\right.$，取z=a，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2b，0，a），
平面EBC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=0，
∴平面EDC⊥平面EBC．
解：（Ⅱ）設(shè)直線EB與平面DEC所成角為θ，
∵∠EDC=90°，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴$-\frac{1}{2}a•\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a-b•b=0$，
解得a=$\sqrt{2}b$，
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，0，-2b），平面EDC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2b，0，$\sqrt{2}b$），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{{n}_{1}}|}{|\overrightarrow{EB}|•|\overrightarrow{{n}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線EB與平面EC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面線的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．