Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，代入|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+1+2+4+2}$
=$\sqrt{{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+9}$$≥\sqrt{2|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|+9}$=$\sqrt{11}$，當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|$=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．