Question

13．已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的x₀∈R，有0＜f′（x+x₀）-f′（x₀）＜4x，x＞0．
（1）對任意的x₀∈R，證明：$f'（{x_0}）＜\frac{{f（{x+{x_0}}）-f（{x_0}）}}{x}$（x＞0）；
（2）若|f（x）|≤1，x∈R，證明|f′（x）|≤4，x∈R．

Answer 1

分析 （1）即證f（x+x₀）-f（x₀）-f'（x₀）x＞0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）-f'（x₀）x，對g（x）求導(dǎo)證明g（x）在[0，+∞）上單增即可；
（2）由條件知f'（x）是R上的單增函數(shù)，故f'（x）不可能恒等于零．如果存在正實(shí)數(shù)δ＞0，及實(shí)數(shù)x₀，使f'（x₀）=δ；如果存在正實(shí)數(shù)δ＞0，及實(shí)數(shù)x₀，使f'（x₀）=-δ，推理論證，即可得到所求結(jié)論．

解答 證明：（1）要證$f'（{x_0}）＜\frac{{f（{x+{x_0}}）-f（{x_0}）}}{x}$（x＞0），
即證f（x+x₀）-f（x₀）-f'（x₀）（x＞0），
設(shè)g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）-f'（x₀）x，
g′（x）=f′（x+x₀）-f′（x₀），
由對任意的x₀∈R，有0＜f′（x+x₀）-f′（x₀）＜4x，x＞0，
可得g′（x）＞0在x＞0恒成立，即有g(shù)（x）在（0，+∞），
故結(jié)論成立；
（2）由條件知f'（x）是R上的單增函數(shù)，故f'（x）不可能恒等于零．
如果存在正實(shí)數(shù)δ＞0，及實(shí)數(shù)x₀，使f'（x₀）=δ，
則對任意x＞0，$\frac{{f（{x+{x_0}}）-f（{x_0}）}}{x}＞δ$．
則當(dāng)$x＞max\left\{{0，\frac{{1-f（{x_0}）}}{δ}}\right\}$時，
$f（{x+{x_0}}）＞δx+f（{x_0}）＞δ•\frac{{1-f（{x_0}）}}{δ}+f（{x_0}）=1$，與條件矛盾．
如果存在正實(shí)數(shù)δ＞0，及實(shí)數(shù)x₀，使f'（x₀）=-δ，
則對任意x＜0，存在ξ∈（x+x₀，x₀），滿足$\frac{{f（{x+{x_0}}）-f（{x_0}）}}{x}=f'（ξ）＜f'（{x_0}）$．
則當(dāng)$x＜min\left\{{0，\frac{{f（{x_0}）-1}}{δ}}\right\}$時，
$f（{x+{x_0}}）＞-δx+f（{x_0}）＞（{-δ}）•\frac{{f（{x_0}）-1}}{δ}+f（{x_0}）=1$，與條件也矛盾．
總之，題目中的條件永遠(yuǎn)不成立．故由于前提條件是假命題，從而不論結(jié)論是什么，都是真命題．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式的證明，注意運(yùn)用單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，具有一定的難度．