Question

15．使命題p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”為真命題的a的集合為P，使命題q：“函數(shù)g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定義域?yàn)镽“為真命題的a的集合為Q．
（1）求集合P和Q：
（2）若命題p和q中至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）命題p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”為真命題，可化為$（a-1）（a+\frac{1}{2}）$＜0，解得可得集合P．使命題q：“函數(shù)g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定義域?yàn)镽“為真命題，a=0時(shí)滿足，a≠0；可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得a可得集合Q．
（2）命題p和q中至少有一個(gè)為真命題，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為P∪Q．

解答 解：（1）命題p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”為真命題，可化為$（a-1）（a+\frac{1}{2}）$＜0，解得$-\frac{1}{2}＜a＜1$．可得集合P=$（-\frac{1}{2}，1）$．
使命題q：“函數(shù)g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定義域?yàn)镽“為真命題，a=0時(shí)滿足，a≠0；可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤4．
∴集合Q=[0，4]．
（2）命題p和q中至少有一個(gè)為真命題，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為P∪Q=$（-\frac{1}{2}，1）$∪[0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．