Question

已知a是給定的正實數，若滿足丨x-a丨＜b的一切實數x，使不等式丨x²-a²丨＜

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都成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：壓軸題,函數思想,轉化思想

分析：利用兩個絕對值不等式的解集，在限制條件a-b＜x＜a+b，不等式|x²-a²|＜

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的恒成立，找出端點值之間的大小關系，得出關于a，b的不等式，最后利用a＞0這個限制條件得出關于b的不等式

解答： 解：∵|x-a|＜b，∴-b＜x-a＜b 即a-b＜x＜a+b；
由不等式|x²-a²|＜

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，解得a²-

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＜x²＜a²+

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，
∵丨x-a丨＜b的一切實數x，使不等式丨x²-a²丨＜

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都成立，
∴a-b＜x＜a+b的一切實數x，使不等式  a²-

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＜x²＜a²+

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恒成立，
∵b＞0 a＞0，∴（a-b）²＜（a+b）²，即得到不等式組

(a-b)2≥a2- 1 2 (a+b)2≤a2+ 1 2

，
化簡得：

b2+2ba- 1 2 ≤0 b2-2ab+ 1 2 ≥0

  即 

b- 1 2b +2a≤0 b+ 1 2b -2a≥0

，
∵b＞0  a＞0，∴

b- 1 2b ＜0 b+ 1 2b ＞0

 即 0＜b＜

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．
故b的取值范圍為（0，

2

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）．

點評：本題考察了多個參變量限制下的不等式恒成立問題，難度較大，能夠從不等式的關系中找出關于b的限制條件是關鍵，需要很好的變換能力，和思維能力