Question

7．函數(shù)f（x）=min{2-|x|，x²-2x}，其中min{p，q}表示p，q兩者中較小者，則f（x）的值域為（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．

Answer 1

分析 討論當2-|x|≥x²-2x，當2-|x|＜x²-2x，可得f（x）的解析式，分別求得f（x）的范圍，再求并集即可得到所求值域．

解答 解：當2-|x|≥x²-2x，解得$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$≤x≤2，f（x）=x²-2x；
當2-|x|＜x²-2x，解得x＜$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$或x＞2，f（x）=2-|x|．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤x≤2}\\{2-|x|，x＞2或x＜\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$；
當$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$≤x≤2，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
當x=1時，取得最小值-1，x=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$時，取得最大值$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$；
x＜$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$或x＞2，f（x）=2-|x|．
可得f（x）＜0或f（x）＜$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$．
綜上可得f（x）的值域為（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$]．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的值域的求法，考查運算能力，屬于中檔題．