Question

14．已知函數(shù)f（x）=2a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)）與g（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2e^2}$-1
• C． $\frac{1}{2e^2}$+1
• D． $\frac{e^2}{2}$-1

Answer 1

分析 由已知，得到方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到a的最小值即可．

解答 解：由已知，得到方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解．
設(shè)f（x）=2lnx-x²，求導(dǎo)得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
f（x）_極大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-2a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等價(jià)于2-e²≤-2a≤-1．
從而a≥$\frac{1}{2}$，即有a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍，關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程2a-x²=-2lnx?-2a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．